W7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна кривой на поверхности. [А]ЂЂЂ1121. Найти первую и вторую квадратичную форму поверхности вращения . Решение.1) Вычислим первую квадратичную форму. Тогда . , , . 2) Вычислим вторую квадратичную форму. . 3) Заметим, что , то есть линии и линии будут линиями кривизны. линия : - мередианы. линия : - параллели. Главные направления ЂЂЂ направления касательных к параллелям и мередианам. ЂЂЂ [А]ЂЂЂ1129. Дана поверхность . Найти нормальную кривизну линии в точке А с локальными координатами этой поверхности. Определить вид нормального сечения в точке А, соответствующее данной кривой. Найти индикатрису Дюпена, главные кривизны и главные направления в точке А. Найти линии кривизны. Решение. 1) Заметим, что эта поверхность эллиптический параболоид, общее уравнение которого . Имеем . Найдем коэффициенты первой и второй квадратичных форм. . Тогда . В точке А получим . , , . Найдем направление касательной к кривой в точке А. Продифференцируем уравнение кривой : . Следовательно, направляющий вектор касательной в базисе имеет координаты . Подставим все найденные значения в формулу для вычисления нормальной кривизны: . 2) Определим вид нормального сечения. Запишем уравнение нормальной плоскости к эллиптическому параболоиду в точке А. Нормаль к поверхности . Координаты вектора касательной к кривой в базисе в точке А: . Координаты точки А в системе координат: Напишем уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно векторам : . Тогда нормальное сечение задается системой уравнений - парабола. 3) Найдем индикатрису Дюпена в точке А. Подставим найденные значения в общее уравнение индикатрисы Дюпена: . Получим в системе координат . Это эллипс, отличный от окружности. Пусть . Вычислим . С другой стороны, мы нашли нормальную кривизну . Для нее на индикатрисе Дюпена существует точка С такая, что , то есть не является окружностью. 4) Найдем главные направления и главные кривизны. Запишем уравнение для нахождения главных кривизн: . Подставим данные задачи. - главные кривизны. Запишем уравнение для нахождения главных направлений: . Подставим данные задачи. Получим , то есть в локальных координатах главные направления . Проверим какому направлению какая кривизна соответствует. Имеем . Подставим и коэффициенты первой и второй квадратичных форм: . Следовательно, направлению соответствует кривизна . 5) Изобразим на картинке главные направления. Для этого найдем координаты векторов, задающих главные направления в базисе . Имеем , . 6) Найдем линии кривизны на данной поверхности. Имеем . Тогда , то есть а) Так как эта линия кривизны проходит через точку , , то есть уравнение линии кривизны в локальных координатах б) . Так как эта линия кривизны проходит через точку , , то есть уравнение линии кривизны в локальных координатах ЂЂЂ [А]ЂЂЂ1125. Показать, что в фиксированной точке поверхности сумма нормальных кривизн кривых, имеющих ортогональные направления, постоянна. Решение. Используем формулу Эйлера . ЂЂЂ [А]ЂЂЂ1132. Выразить главные кривизны и поверхности, образованной касательными к заданной пространственной кривой, через кривизну и кручение этой кривой. Решение. Пусть пространственная кривая задана векторным уравнением , где - натуральный параметр. Тогда поверхность касательных имеет уравнение . Найдем коэффициенты первой квадратичной формы:
47.91 Kb.Название Дата конвертации14.09.2012Размер47.91 Kb.Тип источник
Решение. 1 Вычислим первую квадратичную форму. Тогда
Решение. 1 Вычислим первую квадратичную форму. Тогда
Комментариев нет:
Отправить комментарий